Вот по видео понятно - беспорядочно останавливается кварцевый генератор. Разбирать и тщательно мыть (лучше горячей водой) плату и обойму, затем сушить и собирать заново. Не поможет - сначала менять кварц и подстроечник, всё равно ничего не получится - менять плату.

А можете подсказать, почему этот генератор останавливается только при закрытой крышке?

Ничего не могу сказать, надо видеть плату живьём.

Есть ещё одна догадка, в месте крепления винтом держателя батарейки подложена металлическая пластина, пробуйте ее убрать.

Была такая маленькая. Находилась над пластиной (сразу под винтиком). С ней и без нее результат одинаковый.

Оставил на ночь без крышки. Выставил правильное время, утром смотрю (начало десятого было) - на часах начало четвертого. Значит таки не крышка виновата.

Поменял местами кнопки - сначала показалось, что все хорошо. Но также выключаются, правда теперь с закрытой крышкой и даже на руке работают дольше, но в итоге гаснут.

Вынимать плату и мыть (водой!) от остатков потёкшей батарейки. Дальнейшие разговоры не имеют смысла.

Полностью всю (вместе с экраном и т. д.) или надо разбирать только до платы?

Только плату. Потом тщательно сушить, чтобы выгнать воду из всех деталей, в первую очередь из подстроечника. Можно помыть и обойму, но дисплей из неё надо вынуть - он боится воды.

Катушка после купания тоже скорее всего выйдет из строя.