Командирские заводятся только с автоподзавода
 

С автоподзавода завдятся и идут нормально, головкой заводиться не хочет, крутится вхолостую. В чем может быть проблема?

В часах с автоподзаводом пружина не имеет концевого фиксатора. Вместо крепления там фрикционная накладка, которая сбрасывает излишки завода, поэтому при заводе головкой нет упора.

Головка вообще не заводит, ходит в обе стороны идеально гладко, ни щелчков при движении назад, ни заводки при движении в правильную сторону...

У часов Восток - Командирские с автоподзаводом, очень легкий в отличии от щвейцарцев на ЕТА-шных мехах и японцев - Ситизен например, ручной завод пружины. Это обстоятельство очень часто вводит в заблуждение пользователей таких часов.Поэтому в ваших часах при ручном заводе нужно делать на более 25 оборотов заводной головки.Далее идет холостое проскальзывание фрикционной накладки пружины,что пагубно сказывается на ресурсе механизма.
Для проверки работоспособности ручного завода дождитесь,когда часы полностью остановятся,выработав завод пружины.Далее начинайте вручную заводить часы.Если после 3-5 оборотов заводной головки часы не пошли - ручной завод неисправен.

Выделенная штука болтается слева направо свободно, из-за чего шестерня, закрепленная на этой втулке, или как это назвать, не достает до барабана с пружиной. В проблема? Можно сделать самому, может раскрутилось что? Как туда дальше подлезть? Со стороны циферблата?

Если болтаетса свободно , значит выскочила пружинка которая поджимала эту детальку к барабану. Она расположена с обратной стороны моста завода. Так что по легкому не обойдетса , несите мастеру.

Насколько сложно? Снят циферблат, календарь, "крышка" ремонтуара. Отсюда проблемы не видно...

А, понял, или надо продолжать разбирать с задней стороны? Могут с пружиной возникнуть сложности, в плане сломана, лопунала, ее нету вообще и т.д., или ее просто надо будет поставить на место?

Эта "штука" называется трензель.Он подпружинен V-образной пружинкой.Она либо выскочила,либо лопнула.Для выявления дефекта нужно снимать мост барабана.По правильному,так нужно сначала снимать(обязательно при спущенной заводной пружине):
-мост баланса с балансом;
-мост анкерной вилки и вилку;
-мост основной колесной системы и колеса;
-прижим триба секундной стрелки;
-барабанное колесо;
-мост барабана;
Те у кого есть опыт - могут снять прижим триба секундной стрелки,барабанное колесо, а затем снять мост барабана не повредив деталей, остающихся не снятыми в механизме.

Спасибо огромное! Попробовал бы, но уж очень нравятся часы. Были б донорные, разобрал бы... Придется к мастеру, все равно одного колеса в цепи автоподзавода нет...