Основание как 1-ый день лунного месяца, где оно находилось относительно лунных фаз.
 

Решил действовать от обратного. Попался источник Ф.37 №339. Святцы и Пасхалия (без начала и окончания) XVII век, стр.166, см. вложение, где присутствует таблица с летами, кругами Луны и Солнца. Выбираем 7135 год например, у него круг Луны 10. По григорианскому календарю это 1627 год. Проверяем по таблице 1571 года какое основание у 10 круга Луны, оно равно 23 дням час 4. Смотрим: 7 марта "Рожен" в 7 часов дня, 22 марта "оушер" в 2 часа дня по 15-часовым часам, сравниваем со Стеллариум 1 марта 1627 год или по нашему + 10 дней 11 марта 1627, т.к. я не знаю в какое время 1 марта отсчитывается основание, то взял с утра, возраст Луны по Стеллариум равен 23 дня с 0 при середине новолуния, значит 1 день основания выпадает на следующий день, если основание начинали считать от 1 как первый день Лунного месяца. Для контроля проверяем фазы: 7 марта или по нашему 17 марта в 13 часов примерно фаза Луны 29,5 дня по Стеллариум, новолуние начнётся через 2 часа, 22 марта или по нашему 1 апреля в 8 часов фаза Луны по Стеллариум 15,1 день, полнолуние Было 9 часов назад. Понятно что расчётная таблица это плюс минус по фазам, но хотя бы видно, что основание как 1 день лунного месяца попадает на "Рожен". Может где и ошибся.

Про Лунные месяцы из инструкции 1732 года.
 

Прочитав перевод 1732 года, обнаружил у писаря ошибку: «Июнь имать 30 дний и луна его 30 дней» потому, что: «Май, Июнь, Июль по единому дню дают медлинскому лету месяцу мулизме», Луна в Июне имеет 29 дней, проверяем – как в инструкции к Пасхалии 19 века.
Февраль имеет сам 28 дней, а в высокосный 29 дней, Луна постоянно имеет 29 дней в Феврале потому, что: «март придает Февралю день едень, а в Феврале ве луне 28 дней, а когда високос тогда в Феврале самом 29 дней, а Март ему тогда не помогает своим днём.», если я правильно понял, Март просто делится своим днём в лунном варианте месяца Февраля при невысокосном годе, понятно, что лунный вариант месяца может не совпадать с началом книжного обычного месяца.
Моулизма - вставление, прибавление.

Возможная реформа лунного календаря в XVI веке.
 

Попался источник XVII века Ф.37 №418. Пасхалия и Месяцеслов стр. 24, см. вложения.
Вот как перевёл: "В лето 7058-го, а основание 12 и ты помни да возьми прошедшее лето, а основание первое да приложи к тому. 12 месяцей ино будет с первым в коупе всех 13, то есть и основание на весь год 13, а не 12. А придёт лето 7059-е с марта ино прошедшаго лета основание 13 да приложи к тому 12 месяцей с марта пред идущих ино будет всех 25, то есть основание соущее на весь год."
Вот так понял. Надо смотреть с позиции 17 века, а судя по таблице из сообщения 2-мя постами выше в 17 веке уже использовался мартовский стиль лунного календаря, т.е. при переводе с нашей нумерации годов на от сотворение мира для марта работает формула +5508 и круги Луны после этого правильно определяются делением на 19 по остатку, возьмём пример из этого сообщения: "7135"/19 остаток от деления =10, что соответствует 10 кругу. Это значит, что лунный год в 17 веке настаёт после сентябрьского. Из фразы я понял, что "В лето 7058-го" по марту после сентября основание 12 или круг Луны 9 прикладывается к предыдущему году 7057, т.е. для расчёта круга 9 с основанием 12 по формуле надо прибавлять 1 год к дате 7057, чтобы сошлось. И это уже будет ультромартовский стиль где для перевода из нашего времени требуется цифра +5509 в марте и мартовский новый год идёт раньше сентябрьского. Почему месяцев 25 с 7057 по 7059, видимо туда попал ещё 13 лунный месяц муолизма, который согласно инструкции к пасхалии 19 века равен 30 дням.
Вывод: если в 7000 году мартовский новый год сдвинули на более поздний сентябрь, лунный календарь при этом видимо не трогали, получив ультромартовский стиль, то возможно после 7059 года ультромартовский стиль сменился на мартовский.
Вот эту фразу не понимаю:"12 месяцей ино будет с первым в коупе всех 13, то есть и основание на весь год 13, а не 12."
Вся эта версия может быть ошибочна.

Какие бывают круги и сколько лет длятся, из источника перв. четв. XVI в.
 

Просто решил выложить информацию, вдруг кому пригодится для разгадок тайн истории.
Ф.98 №268. Псалтирь с восследованием
Перевод: "Вопрос: За сколько лет обновляется круг небесный? Ответ: за 100 лет, а земной за 90 лет, а звёздный за 50 лет, а солнечный за 28 лет, а месячный за 19 лет, а морской за 60 лет, а ветренный за 4 лет, а водный за 7 лет."

Про Византию.
 

Термин «Византийская империя» был введен в 1557 году немецким историком Иеронимом Вольфом для обозначения грекоязычной Римской империи с центром в Константинополе. В некоторых исторических текстах Византийскую империю называют Восточной Римской империей. Начало истории Византийской империи обычно связывают с основанием в 330 году Константином Великим крупного города-крепости на Босфоре. Этот город вырос на месте маленького городка Византий и получил название Константинополь по имени своего основателя.
Источник.
Деление часа, есть разные версии, выписал на случай отключения источника, верить или нет - решайте сами.
По Пселлу 1091-92 г., «В сутках – 24 часа, в каждом часе – 5 «малостей»-лепт, в каждой «малосте» – 4 «мгновения», в каждом «мгновении» – 12 «мигов»-«роп≫ или 1 час = 5 «лепт», 1 лепта = 4 стигмы, 1 стигма = 12 роп.
По Флорентийскому трактату 12 век, 1 час = 5 стигм, 1 стигма = 2 лепты, 1 лепта = 15 мойр, 1 мойра = 8 рип, 1 рипа = 12 эндиксов, 1 эндиксис = 60 атомов.
Источник.
В обеих случаях мы видим деление целого часа на 5.

Вывод.
 

Пятикратные следующие дробные часы видимо это изобретение чисто русское, как и утверждают некоторые источники. Слышал так же версию, что это было сделано для экономии бумаги, ведь запись славянскими буквами цифр сама по себе тратит меньше знаков для записи числа в строчку, чем арабскими цифрами как правило, а тут ещё дробные часы работают как архиватор записи.

Пример небольшого механизма английских часов с боем около 1610 года.
 

Сделано Леонардом Теннантом, ок. 1610 г. в Лондоне. Британский музей. Интересный часовой механизм с вергой и фолиотом в рабочем состоянии. Он отмечен раковиной морского гребешка, которую Л. Теннант использовал для подписи своих часов. Фильм слишком длинный, но в конце часовой механизм бьет в четыре часа.
Cassiobury Park Turret clock

Про 13-ый лунный месяц.
 

В этом источнике содержится ошибка, тут вроде получается, что 13-й лунный месяц наступает в четвёртом годе, после 3-х обычных лунных годов. Правильнее - 13-й лунный месяц наступает в конце 3-его лунного года после февраля, согласно Инструкции к пасхалии 19 века, стр. 14, $ 15, см. вложение и вот этому источнику 16 века, Ф.113 №213. Псалтирь с часословом., стр. 504, где показано в таблице положение дополнительного месяца, если я правильно понял.

Как появился этот лунный календарь у нас.
 

На другом форуме мне подкинули информацию в виде книги "Новый стиль и православная пасхалия" Степанов Николай Васильевич, 1907, Москва.. Эту книгу было интерестно почитать. Во вложении страницы описывающие появление календаря, стр. 42-44 первые 3, на случай пропажи сайта. Вообще всё оказалось сложнее чем я думал.
После открытия афинского математика Метона {19 солнечных годов содержат 235 лунаций} и вставкой этого открытия в Юлианский календарь Созигенем, православные стали его использовать, но с изменениями, возможно еврейский вариант календаря тоже повлиял, короче у каждого календаря была своя Луна, со своей скоростью или точкой отсчёта отличавшейся от настоящей. Так настоящая Луна имела среднюю скорость по фазам=29,530588 дня, согласно автору книги, у евреев=29,530594 дня, у Созигеня, которую использовали православные, по словам автора книги=29,530851, что потом конечно давало нестыковку с настоящей Луной со временем. По Созигену было было 12 простых годов и 5 с 13 месяцем в 19 кругах Луны, причём последний 13 месяц состоял из 29 дней.
У евреев эти 13-ые месяцы распологались в 3, 6, 8, 11, 14, 17, 19 годах, но у них и сами года делились по типу более сложно, стр. 21-23 вторые 3 во вложении. Как у нас распологались по годам эти 13-ые месяцы, мне неизвестно, но судя по таблице из сообщения видимо также как у евреев.
Обратите внимание, на странице 21, описано деление часа у евреев, которое совпадает с нашим источником где был расчитан исходник лунной таблицы.

"Лунный скачок" или почему в лунном месяце июне могло быть 30 дней, предположение.
 

Исследовал 16 и 17 круги Луны в районе июня в лунных таблицах с 15-часовым временем, от XV века и 1571 года, почему взял 2 источника, да потому-что есть ошибка в 1571, вместо 4 часов написано 14 часов, а 14 часов никак не может быть ночью летом.

Рожен.
16 круг.
Апрель 29 день 4 час
Май 28 день 2 час
Июнь 27 день 5 час
Июль 26 ночь была ошибка 4 час
Апрель- май 24-4+28*24+2=694 часа
Май -июнь 24-2+29*24+5=723 часа или 30,125 дня
Июнь-июль 24-5+28*24+14+4=709 часов
17 круг.
Май 17 ночь 5 час.
Июнь 16 день 8 час
Июль 15 ночь 7 час.
Август 14 день 9 час
Май-июнь 10-5+29*24+8=709 часов
Июнь-июль 24-8+28*24+10-7=691 час или 28,79 дня
Июль-август 10-7+29*24+9=708 часов.

Вывод: скорее всего в 16 круге Луны июнь месяц расширили за счёт мая и в календаре для "общежития" вполне мог появляться лунный месяц июнь с 30 днями в 16 круге Луны, как было написано в инструкции от 1732 года. Эта версия может быть ошибочна.