Человек знающий день выбирает из 2 месяцев, а тот который знает месяц из 2 дней. 18 и 19 убираем, если число:
14 то это июль-август
15 то это май-август
16 - май-июль
17 - июнь-август
если месяц:
май - 15или16
июнь 17
июль 14 или 16
август 14или 15или 17
Знающий число уже узнал что тот кто знает месяц точно не знает число -
убираем июнь там день один
раз нет июня то чел знающий число убирает август (там 17)- раз не август то и числа 14,15 не подходит. Раз нет 14 значит тот кто знает месяц отбросит июль и август
Осталось 16 и месяц май.) Труднее описать тавтологию: тот кто узнал что 1 не знает точно и т.п.

В июне два дня

18 и 19 уже не играют изходя из вводной

Исходя из вводных, май и июнь не играют вообще после первой фразы

Значит я где то ошибся.) Счас подумаем еще - трудно я в покер перебрасываюсь.:D
Ладно доиграю и раскину извилиной - ну я хоть пробую.)

Нарисуйте 4 столбика с месяцами, а под ними числа, соответствующие месяцам. Можно в порядке возрастания, потом удобно будет исключения делать.
И вдумчиво перечитайте первую реплику Антона.;)

Так он и говорит - дружище это не июнь!
Тот - а! козлина значит знай это и не 14,15 и 17 и раз 18 и 19 не играют осталось 16 число! И поэтому месяц будет ....
тут мне АА пришел и я в ступор, но продолжим
Ага знающий месяц узнал число 16 и сказал второму об этом, а знающий число узнал что не июнь и не август и остался у него май и июль и там в соврадении с 16 только - июль !!!!!

Он говорит " Дружище, это не июнь, и не май!"
А тот ему "И не 14е!"
А этот "Ну тогда и не август!"

Мне мой ход мыслей ближе!)

Предлагаю все же следовать ходу мысли Антона и Бориса)